Question

 

Answer 1

解析：（1）在第3行中，由左向右的数字依次是：a ₁ = 6，a ₂ = 9 = a ₁ + 3，

a ₃ = 13 = a ₂ + 4，a ₄ = 18 = a ₃ + 5，…，归纳可证得：a _n = a _{n 1} + ( n + 1 )，

∴ a ₈ = a ₇ + 9 = a ₆ + 8 + 9 = … = a ₄ + 6 + 7 + 8 + 9 = 18 + 30 = 48；

（2）为求数字321在哪个方格内，可将棋盘上的数字按从右上到左下的对角线方向排列如下：第1组 1；第2组 2，3；第3组 4，5，6；第4组 7，8，9，10；……，显然，

从第1组到第n组共包含1 + 2 + 3 + … + n =个数字，故第n组中最大数字是。∵ 321是第321个数字，∴ 321所在“组”的行号是满足：≥ 321的最小自然数n。试算，从= 300和= 325，可得n = 25。第25组中最小的数是数列 1，2，4，7，11，…，（即a _n = a _{n 1} + ( n 1 )）中的第25个数，记为a ₂₅。易知a ₂₅ = a ₂₄ + 24 = a ₂₃ + 23 + 24 = … = a ₁ + 1 + 2 + 3 + … + 24 = 301，因而321是第25组中第（321 301 + 1 ）个数，即第21个数。∴ 321位于第21行、第5列的方格内；

（3）位于从左上角到右下角的对角线上的方格内的数字组成的数列是 1，5，13，25，…不妨依次记为b ₁，b ₂，b ₃，…，易见，b _n是依（2）中排法的第2 n 1组的中间一个数，即第n个数，∴ b _n = ( n 1 ) = 2 n ( n 1 ) + 1 = 2 n ² 2 n + 1，n = 1，2，3，…；

（4）利用自然数平方和的公式：1 ² + 2 ² + 3 ² + … + n ² =，可以计算得S _n =

=2 k ² 2 k + 1 ) = 2² 2+ n = 2 × 2 ×+ n =。