Question

如图，圆O的圆心O在Rt△ABC的直角边BC上，该圆与直角边AB相切，与斜边AC交于D，E，AD=DE=EC，AB=

14

．
（I）求BC的长；
（II）求圆O的半径．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知及由切割线定理，有AB²=AD•AE=

1

3

AC•

2

3

AC，由此能求出BC的长．
（Ⅱ）设圆O与BC的交点为F，圆O的半径为r．由割线定理，得CF•CB=CE•CD=

1

3

AC•

2

3

AC=AB²，由此能求出圆O的半径．

解答：解：（Ⅰ）由已知及由切割线定理，
有AB²=AD•AE=

1

3

AC•

2

3

AC，
所以AC²=

9

2

AB²．…（3分）
由勾股定理得，
BC=

AC2-AB2

=7．…（5分）
（Ⅱ）设圆O与BC的交点为F，圆O的半径为r．
由割线定理，
得CF•CB=CE•CD=

1

3

AC•

2

3

AC=AB²，…（8分）
即（7-2r）×7=14，
解得r=

5

2

．…（10分）

点评：本题考查与圆有关的比例线段的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意切割线定理和勾股定理的灵活运用．