Question

选修4-1几何证明选讲
如图，圆O的圆心O在Rt△ABC的直角边BC上，该圆与直角边AB相切，与斜边AC交于D，E，AD=DE=EC，AB=

14

．
（I）求BC的长；
（II）求圆O的半径．

Answer 1

分析：（I）根据已知条件结合切割线定理，得AB²=AD•AE=

9

2

AB²=63，再在Rt△ABC中利用勾股定理可算出BC的长度；
（II）设圆O的半径为r，根据割线定理，结合（I）的计算，可得CF•CB═

2

9

AC²=AB²，即（7-2r）×7=14，解之可得圆O的半径为7．

解答：解：（Ⅰ）由已知及由切割线定理，得
AB²=AD•AE=

1

3

AC•

2

3

AC，所以AC²=

9

2

AB²．…（3分）
∵AB=

14

，∴AC²=

9

2

×14=63
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC=

AC2-AB2

=7．…（5分）
（Ⅱ）设圆O与BC的交点为F，圆O的半径为r．
由割线定理，得CF•CB=CE•CD=

1

3

AC•

2

3

AC=

2

9

AC²
结合（I）AC²=

9

2

AB²，得CF•CB=AB²，…（8分）
∴（7-2r）×7=14，解之得r=

5

2

，即圆O的半径为7．…（10分）

点评：本题给出圆心在直角三角形一边上的圆，求一条直角边长和圆半径的大小，着重考查了勾股定理、切割线定理等与圆有关的比例线段等知识，属于中档题．