题目内容

选修4-1几何证明选讲
如图，圆O的圆心O在Rt△ABC的直角边BC上，该圆与直角边AB相切，与斜边AC交于D，E，AD=DE=EC，AB= $数学公式$ ．
（I）求BC的长；
（II）求圆O的半径．

解：（Ⅰ）由已知及由切割线定理，得
AB²=AD•AE= $\text{[math]}$ AC• $\text{[math]}$ AC，所以AC²= $\text{[math]}$ AB²．…（3分）
∵AB= $\text{[math]}$ ，∴AC²= $\text{[math]}$ ×14=63
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC= $\text{[math]}$ =7．…（5分）
（Ⅱ）设圆O与BC的交点为F，圆O的半径为r．
由割线定理，得CF•CB=CE•CD= $\text{[math]}$ AC• $\text{[math]}$ AC= $\text{[math]}$ AC²
结合（I）AC²= $\text{[math]}$ AB²，得CF•CB=AB²，…（8分）
∴（7-2r）×7=14，解之得r= $\text{[math]}$ ，即圆O的半径为7．…（10分）
分析：（I）根据已知条件结合切割线定理，得AB²=AD•AE= $\text{[math]}$ AB²=63，再在Rt△ABC中利用勾股定理可算出BC的长度；
（II）设圆O的半径为r，根据割线定理，结合（I）的计算，可得CF•CB═ $\text{[math]}$ AC²=AB²，即（7-2r）×7=14，解之可得圆O的半径为7．
点评：本题给出圆心在直角三角形一边上的圆，求一条直角边长和圆半径的大小，着重考查了勾股定理、切割线定理等与圆有关的比例线段等知识，属于中档题．

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)=4的距离的最小值是

．
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．
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