题目内容

设A是平面向量的集合，是定向量，对，定义f(
x
)=
x
-2(
a
•
x
)•
a
．现给出如下四个向量：
①
a
=(0 ， 0)，②
a
=(
2
4
 ， 
2
4
)，③
a
=(
2
2
 ， 
2
2
)，④
a
=(-
1
2
 ， 
3
2
)．
那么对于任意
x
、
y
∈A，使f(
x
)•f(
y
)=
x
•
y
恒成立的向量
a
的序号是
 
（写出满足条件的所有向量
a
的序号）．
分析：由于①是零向量代入f（x）检验是否满足要求即可；对于一般情况，利用向量的数量积的运算律求出f（x）f（y）；要满足条件得到
a
2=1，再判断②③④哪个满足即可．
解答：解：对于①当
a
=(0 ， 0)时，f(
x
)=
x
满足f(
x
)•f(
y
)=
x
•
y

当
a≠
0
时，
f(
x
)•f(
y
)= [
x
-2(
a
•
x
)•
a
][
y
-2(
a
•
y
)•
a
]
=
x
•
y
-4(
a
•
x
)(
a
•
y
)+4(
a
•
x
)(
a
•
y
)
a
2
要满足f(
x
)•f(
y
)=
x
•
y

需4(
a
•
x
)(
a
•
y
)
a
2= 4(
a
•
x
)(
a
•
y
)
∴
a
2=1
对于③④
a
2=1
故答案为①③④
点评：本题考查向量的数量积的运算律：满足交换量不满足结合律但当向量与实数相乘时满足结合律．
练习册系列答案
相关题目
（2012•江门一模）设V是平面向量的集合，映射f：V→V满足f(
a
)=
0
，
a
=
0
1
|
a
|
a
，
a
≠
0
.
，则对?
a
、
b
∈V，?λ∈R，下列结论恒成立的是（　　）
设V是平面向量的集合，映射f：V→V满足f(
a
)=
0
，
a
=
0
1
|
a
|
a
，
a
≠
0
.
，则对?
a
、
b
∈V，?λ∈R，下列结论恒成立的是（　　）
A．f(
a
+
b
)=f(
a
)+f(
b
)		B．f（|
a
|•
a
+|
b
|
b
）=f[f（
a
）+f（
b
）]
C．f（|
a
|•
a
）=f（
a
）		D．f（|
b
|•
a
+|
a
|
b
）=f[f（
a
）+f（
b
）]
设V是平面向量的集合，映射f：V→V满足，则对、，?λ∈R，下列结论恒成立的是（ ）
A．
B．f=f[f（）+f（）]
C．f=f（）
D．f=f[f（）+f（）]
设A是平面向量的集合，是定向量，对，定义．现给出如下四个向量：
①，②，③，④．
那么对于任意、，使恒成立的向量的序号是    （写出满足条件的所有向量的序号）．

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