题目内容

设V是平面向量的集合，映射f：V→V满足f(
a
)=
0
，
a
=
0
1
|
a
|
a
，
a
≠
0
.
，则对?
a
、
b
∈V，?λ∈R，下列结论恒成立的是（　　）
A．f(
a
+
b
)=f(
a
)+f(
b
)		B．f（|
a
|•
a
+|
b
|
b
）=f[f（
a
）+f（
b
）]
C．f（|
a
|•
a
）=f（
a
）		D．f（|
b
|•
a
+|
a
|
b
）=f[f（
a
）+f（
b
）]
根据题意，映射f（
a
）的对应法则是将零向量对应到零向量，
将一个非零向量对应到与之同向的单位向量，因此可得
对于A，若向量
a
、
b
是方向相反且模不相等的两个非零向量，
则f(
a
+
b
)=
1
|
a
+
b
|
(
a
+
b
)≠
0
，且f(
a
)+f(
b
)=
1
|
a
|
a
+
1
|
b
|
b
=
0
，
所以f(
a
+
b
)≠f(
a
)+f(
b
)，得A项不正确；
对于B，若向量
a
、
b
是方向相反且模不相等的两个非零向量，则|
a
|•
a
+|
b
|
b
不是零向量，
可得f（|
a
|•
a
+|
b
|
b
）=
1
||
a
|•
a
+|
b
|•
b
|
(|
a
|•
a
+
|b|
•
b
)≠
0

而f[f（
a
）+f（
b
）]=f（
0
）=
0
，故f（|
a
|•
a
+|
b
|
b
）≠f[f（
a
）+f（
b
）]，可得B项不正确；
对于C，若
a
=
0
，则f（|
a
|•
a
）=f（
a
）=
0
；
若
a
≠
0
，则f（|
a
|•
a
）=
1
|
a
|
a
且f（
a
）=
1
|
a
|
a
，得f（|
a
|•
a
）=f（
a
）
由以上的分析，可得对任意向量
a
，均有f（|
a
|•
a
）=f（
a
）成立，故C项正确；
对于D，若向量
a
=
0
且
b
≠
0
，则f（|
b
|•
a
+|
a
|
b
）=f（
0
）=
0

而f[f（
a
）+f（
b
）]=f[
0
+
1
|
b
|
•
b
）=
1
|
b
|
•
b
≠
0
，
因此，f（|
b
|•
a
+|
a
|
b
）≠f[f（
a
）+f（
b
）]，可得D项不正确
故选：C
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相关题目
设V是全体平面向量构成的集合，若映射f：V→R满足：对任意向量a=（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意λ∈R，均有f（λa+（1-λ）b）=λf（a）+（1-λ）f（b）则称映射f具有性质P．先给出如下映射：
①f1：V→R，f1（m）=x-y，m=（x，y）∈V；
②f2：V→R，f2（m）=x2+y，m=（x，y）∈V；
③f3：V→R，f3（m）=x+y+1，m=（x，y）∈V．
其中，具有性质P的映射的序号为
 
．（写出所有具有性质P的映射的序号）
设V是全体平面向量构成的集合．若映射f：V→R满足：对任意向量a=（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意λ∈R，均有f（λa+（1-λ）b）=λf（a）+（1-λ）f（b），则称映射f具有性质P．现给出如下映射：
①f1：V→R，f1（m）=x+y+1，m=（x，y）∈V；
②f2：V→R，f2（m）=x-y，m=（x，y）∈V；
③f3：V→R，f3（m）=x2+y，m=（x，y）∈V．
其中，具有性质P的映射的序号为
（2）
（2）
．（写出所有具有性质P的映射的序号）
（2012•江门一模）设V是平面向量的集合，映射f：V→V满足f(
a
)=
0
，
a
=
0
1
|
a
|
a
，
a
≠
0
.
，则对?
a
、
b
∈V，?λ∈R，下列结论恒成立的是（　　）
设V是平面向量的集合，映射f：V→V满足，则对、，?λ∈R，下列结论恒成立的是（ ）
A．
B．f=f[f（）+f（）]
C．f=f（）
D．f=f[f（）+f（）]

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