题目内容
（2012•江门一模）设V是平面向量的集合，映射f：V→V满足f(
)=
，则对?
、
∈V，?λ∈R，下列结论恒成立的是（ ）
| a |
|
| a |
| b |
分析：由映射f的对应法则，可得f（
）将零向量对应到零向量，将一个非零向量对应到与之同向的单位向量．由此对C项进行证明，可得对任意向量
均有f（|
|•
）=f（
）成立，得C正确；而对于A、B、D利用映射f的对应法则结合向量的运算性质，分别举出反例加以说明，即可得到A、B、D均不正确．由此得到本题答案．
| a |
| a |
| a |
| a |
| a |
解答：解：根据题意，映射f（
）的对应法则是将零向量对应到零向量，
将一个非零向量对应到与之同向的单位向量，因此可得
对于A，若向量
、
是方向相反且模不相等的两个非零向量，
则f(
+
)=
(
+
)≠
，且f(
)+f(
)=
+
=
，
所以f(
+
)≠f(
)+f(
)，得A项不正确；
对于B，若向量
、
是方向相反且模不相等的两个非零向量，则|
|•
+|
|
不是零向量，
可得f（|
|•
+|
|
）=
(|
|•
+
•
)≠
而f[f（
）+f（
）]=f（
）=
，故f（|
|•
+|
|
）≠f[f（
）+f（
）]，可得B项不正确；
对于C，若
=
，则f（|
|•
）=f（
）=
；
若
≠
，则f（|
|•
）=
且f（
）=
，得f（|
|•
）=f（
）
由以上的分析，可得对任意向量
，均有f（|
|•
）=f（
）成立，故C项正确；
对于D，若向量
=
且
≠
，则f（|
|•
+|
|
）=f（
）=
而f[f（
）+f（
）]=f[
+
•
）=
•
≠
，
因此，f（|
|•
+|
|
）≠f[f（
）+f（
）]，可得D项不正确
故选：C
| a |
将一个非零向量对应到与之同向的单位向量，因此可得
对于A，若向量
| a |
| b |
则f(
| a |
| b |
| 1 | ||||
|
|
| a |
| b |
| 0 |
| a |
| b |
| 1 | ||
|
|
| a |
| 1 | ||
|
|
| b |
| 0 |
所以f(
| a |
| b |
| a |
| b |
对于B，若向量
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
可得f（|
| a |
| a |
| b |
| b |
| 1 | ||||||||
||
|
| a |
| a |
| |b| |
| b |
| 0 |
而f[f（
| a |
| b |
| 0 |
| 0 |
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| b |
对于C，若
| a |
| 0 |
| a |
| a |
| a |
| 0 |
若
| a |
| 0 |
| a |
| a |
| 1 | ||
|
|
| a |
| a |
| 1 | ||
|
|
| a |
| a |
| a |
| a |
由以上的分析，可得对任意向量
| a |
| a |
| a |
| a |
对于D，若向量
| a |
| 0 |
| b |
| 0 |
| b |
| a |
| a |
| b |
| 0 |
| 0 |
而f[f（
| a |
| b |
| 0 |
| 1 | ||
|
|
| b |
| 1 | ||
|
|
| b |
| 0 |
因此，f（|
| b |
| a |
| a |
| b |
| a |
| b |
故选：C
点评：本题给出定义域为向量集的一个映射f，要我们验证关于映射f的几个等式中哪一个正确．着重考查了平面向量的线性运算法则和映射的概念等知识，属于中档题．
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