Question

14．S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=n²+n
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）求证：数列{a_n}是等差数列
（Ⅲ）设数列{b_n}是首项为1，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用当n=1时，a₁=S₁，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，化简整理，即可得到所求通项；
（Ⅱ）运用等差数列的定义，即可得证；
（Ⅲ）运用等比数列的通项公式可得b_n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，
当n=1时，a₁=S₁=2，符合上式．
综上，a_n=2n，n∈N^*；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a_n=2n，
则a_n+1=2（n+1），
故a_n+1-a_n=2（n+1）-2n=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，2为公差的等差数列；　
（Ⅲ）∵数列{b_n}是首项为1，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1；
故数列{a_n•b_n}的前n项和T_n=2•1+4•$\frac{1}{2}$+6•$\frac{1}{4}$+…+2n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$T_n=2•$\frac{1}{2}$+4•$\frac{1}{4}$+6•$\frac{1}{8}$+…+2n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
两式相减可得，$\frac{1}{2}$T_n=2（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1）-2n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=2•$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$-2n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化简可得，前n项和T_n=8-（8+4n）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

点评 本题考查等差数列的定义和通项公式，考查数列的求方法：错位相减法，同时考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，属于中档题．