题目内容
【题目】如图，已知三棱柱 
，侧面 
.
(Ⅰ)若 
分别是 
的中点，求证： 
；
(Ⅱ)若三棱柱 的各棱长均为2，侧棱 
与底面 
所成的角为 
，问在线段 
上是否存在一点 
，使得平面 
?若存在，求 
与 
的比值，若不存在，说明理由．
【答案】解：证明：(Ⅰ)连接AC1 ， BC1 ， 
则AC1∩A1C＝N，AN＝NC1 ，
因为AM＝MB，所以MN∥BC1.
又BC1平面BCC1B1 ，
所以MN∥平面BCC1B1.
(Ⅱ)作B1O⊥BC于O点，连接AO，
因为平面BCC1B1⊥底面ABC，
所以B1O⊥平面ABC，
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0， 
，0)，B(－1，0,0)，C(1,0,0)，B1(0,0， )．由 
＝ 
＝ 
，可求出A1(1， ， )，C1(2,0， )，
设点P(x，y，z)， 
＝λ 
.
则P 
，
＝ ，
＝(－1,0， )．
设平面B1CP的法向量为n1＝(x1 ， y1 ， z1)，
由 
得 
令z1＝1，解得n1＝ 
.
同理可求出平面ACC1A1的法向量n2＝( ，1，－1)．
由平面B1CP⊥平面ACC1A1 ，
得n1·n2＝0，即3＋ 
－1＝0，
解得λ＝3，所以A1C
从而C1P∶PA1＝2.
【解析】（1）连接AC1，利用三角形的中位线证明：MN∥BC1，然后利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（2）假设在线段A1C1上存在点P，通过求出平面B1CP的法向量，求出平面ACC1A1的法向量，通过向量垂直的条件建立方程．即可得出结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平面的法向量(若向量
所在直线垂直于平面
，则称这个向量垂直于平面，记作
，如果，那么向量叫做平面的法向量)．
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【题目】某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市
岁的人群抽取一个容量为
的样本，并将样本数据分成五组：
，
，
，
，
，再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示.
组号 | 分组 | 回答正确的人数 | 回答正确的人数占本组的比例 |
第1组 |
|
|
|
第2组 |
|
|
|
第3组 |
|
|
|
第4组 |
|
|
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第5组 |
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|
|
（1）分别求出
，
的值；
（2）从第
，
，
组回答正确的人中用分层抽样方法抽取
人，则第，，组每组应各抽取多少人？
（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的人中随机抽取人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有
人获得幸运奖概率.
