Question

不等式[（1-a）n-a]lga＜0，对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、{a|a＞1}
• B、{a|0＜a＜

  1

  2

  }
• C、{a|0＜a＜

  1

  2

  或a＞1}
• D、{a|a0＜a＜

  1

  3

  或＞1}

Answer 1

分析：因为有因式lga，所以须对a分a＞1，0＜a＜1和a=1三种情况讨论，在每一种情况下求出对应的a的范围，最后综合即可．

解答：解：由题知＞0，所以当a＞1时，lga＞0，
不等式[（1-a）n-a]lga＜0转化为（1-a）n-a＜0?a＞

n

n+1

=1-

1

n+1

对任意正整数n恒成立?a＞1．
当0＜a＜1时，lga＜0，
不等式[（1-a）n-a]lga＜0转化为（1-a）n-a＞0?a＜

n

n+1

=1-

1

n+1

对任意正整数n恒成立?a＜

1

2

，
∵0＜a＜1，∴0＜a＜

1

2

．
当a=1时，lga=0，不等式不成立舍去
综上，实数a的取值范围是  a＞1或0＜a＜

1

2

故选C．

点评：本题考查了函数的恒成立问题以及分类讨论思想的应用．分类讨论目的是，分解问题难度，化整为零，各个击破．