Question

如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，BD=1，O为BC的中点。
（1） 求证：AO∥平面DEF；
（2） 求证：平面DEF⊥平面BCED；
（3） 求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值。

Answer 1

解：（1）取DE的中点G，建系如图，则A（0，，0）、B（0，-1，0）、C（1，0，0）、 D（-1，0，1），E（1，0，3）、F（0，，2）、G（0，0，2），
=（2，02），=（1，，1），
设平面DEF的一法向量=（x，y，z），
则即，不妨取x=1，则y=0，z=-1，
∴=（1，0，-1），平面ABC的一法向量=（0，0，1），=（0，，0），
=0，
∴，
又OA平面DEF，
∴OA//平面DEF；
（2）显然，平面BCED的一法向量为=（0，1，0），=0，
∴平面DEF⊥平面BCED；
（3）由（1）知平面DEF的一法向量=（1，0，-1），平面ABC的一法向量=（0，0，1），
cos<>=，
∴求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值为。