Question

10．若x₁满足3^x-1=2-x，x₂满足log₃（x-1）+x-2=0，则x₁+x₂等于（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 方法一：采用换元法，根据互为反函数图象的对称性解题；
方法二：通过观察得出函数的零点，即可得出结果．

解答 解：方法一：令t=x-1，
方程①可变形为：3^t=1-t，t₁为该方程的根，
方程②可变形为：log₃t=1-t，t₂为该方程的根，
由于函数y=3^t与函数y=log₃t互为反函数，
所以它们的图象关于直线y=x轴对称，
故两图象与直线y=1-t的交点（t₁，y₁），（t₂，y₂）也关于y=x对称，
所以，t₁+t₂=1，
而x₁=t₁+1，x₂=t₂+1，所以，x₁+x₂=t₁+t₂+2=3，
方法二：观察题中方程，
x₁满足3^x-1=2-x，显然x₁=1是方程的根，
x₂满足log₃（x-1）+x-2=0，显然x₂=2是方程的根，
所以，x₁+x₂=3．
故选：D．

点评 本题主要考查了函数的零点，指数，对数函数的图象和性质，运用了函数与方程，数形结合的解题思想，属于中档题．