Question

已知m，n为正整数。
（1）用数学归纳法证明：当x＞-1时，（1+x）^m≥1+mx；
（2）对于n≥6，已知，求证：，m=1，2…，n；
（3）求出满足等式3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ的所有正整数n。

Answer 1

解：（1）用数学归纳法证明：
（i）当时，原不等式成立；
当时，左边，右边，
因为，
所以左边≥右边，原不等式成立；
（ii）假设当时，不等式成立，即，
则当时，
∵，
∴，
于是在不等式两边同乘以得，

所以
即当时，不等式也成立
综合（i）（ii）知，对一切正整数，不等式都成立。
（2）当时，由（1）得

于是，。
（3）解：由（2），当时，
，
∴
即
即当时，不存在满足该等式的正整数n
故只需要讨论的情形：
当时，，等式不成立；
当时，，等式成立；
当时，，等式成立；
当时，为偶数，而为奇数，
故，等式不成立；
当时，同的情形可分析出，等式不成立
综上，所求的n只有。