Question

已知m，n为正整数，
（1）证明：当x＞-1时，（1+x）^m≥1+mx；
（2）对于n≥6，已知，求证，m=1，2，3，…，n；
（3）求出满足等式3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ的所有正整数n。

Answer 1

解：（1）用数学归纳法证明：
（i）当时，原不等式成立；当时，左边，右边
因为
所以左边右边，原不等式成立；
（ii）假设当时，不等式成立，即，则当时
∵
∴
于是在不等式两边同乘以1+x得
所以
即当时，不等式也成立
综合（i）（ii）知，对一切正整数m，不等式都成立；
（2）当时，由（1）得：（令易得）
于是，m=1，2，3，…，n；
（3）由（2）知，当时

∴
即
即当时，不存在满足该等式的正整数n
故只需要讨论n=1，2，3，4，5的情形
当时，，等式不成立
当n=2时，，等式成立；
当n=3时，，等式成立；
当n=4时，为偶数，为奇数，故，等式不成立；
当n=5时，同的情形可分析出，等式不成立
综上，所求的n只有2，3。