Question

如图，在平面直角坐标系中，一条定长为m的线段，其端点A、B分别在x、y轴上滑动，设点M满足=λ（λ是不等于1的正常数），试问：是否存在两个定点E、F，使得||，||，||成等差数列？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

解:设点M坐标为（x,y）,A(a,0),B(0,b).则a²+b²=m².由=得∴∴(1+λ)²x²+()²y²=m²,即=1.

    由λ＞0且λ≠1知点M的轨迹为椭圆.

    假如存在两点E、F，使||，||，||成等差数列，则2||=||+||，因m、λ为定值，故2||=是定值，即和||+||为定值，故E、F应为椭圆的焦点，且为长轴长，于是＞,即0＜λ＜1.

    所以，当0＜λ＜1时，存在两定点E、F，它们分别为椭圆=1的两焦点（m,0）及（-m,0）;当λ＞1时，＞,M的轨迹是椭圆，半长轴长为,同时由假设半长轴又为，矛盾，故此时不存在定点E、F.