题目内容

若不等式 $数学公式$ 对于任意正实数x、y成立，则k的取值范围为 ________．

$\text{[math]}$
分析：将不等式 $\text{[math]}$ 转化为k²≥ $\text{[math]}$ ．只要求得 $\text{[math]}$ 最大值即可．
解答：显然k＞0，故k²≥ $\text{[math]}$ ．
令t= $\text{[math]}$ ＞0，则k²≥ $\text{[math]}$
令u=4t+1＞1，则t= $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ 可转化为：s（u）= $\text{[math]}$ ，
于是， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ （1+2）= $\text{[math]}$ ．
∴k²≥ $\text{[math]}$ ，即k≥ $\text{[math]}$ 时，不等式恒成立（当x=4y＞0时等号成立）．
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题考查将不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，求最值时一般是转化为基本函数解决，或用基本不等式，或用导数求解．

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下列命题中：
（1）方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；
（2）函数f（x）=lg（mx²+mx+1）的定义域为R，则m的取值范围是m∈（0，4）；
（3）若函数y=

在区间（-∞，1]上是减函数，则实数a∈[-3，-2]；
（4）若函数f（3x+1）是偶函数，则f（x）的图象关于直线x=

对称．
（5）若对于任意x∈（1，3）不等式x²-ax+2＜0恒成立，则a＞

；
其中的真命题是

（1），（3），（5）

（1），（3），（5）

（写出所有真命题的编号）．

已知函数在点处取得极值。

（1）求实数a的值；

（2）若关于x的方程在区间[0，2]上有两个不等实根，求b的取值范围；

（3）证明：对于任意的正整数，不等式。

下列命题中：
（1）方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；
（2）函数f（x）=lg（mx²+mx+1）的定义域为R，则m的取值范围是m∈（0，4）；
（3）若函数 $数学公式$ 在区间（-∞，1]上是减函数，则实数a∈[-3，-2]；
（4）若函数f（3x+1）是偶函数，则f（x）的图象关于直线 $数学公式$ 对称．
（5）若对于任意x∈（1，3）不等式x²-ax+2＜0恒成立，则 $数学公式$ ；
其中的真命题是________（写出所有真命题的编号）．

（本小题满分14分）已知函数在点处取得极值．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若关于的方程在区间上有两个不等实根，求的取值范围；

（Ⅲ）证明：对于任意的正整数，不等式都成立．

下列命题中：
（1）方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；
（2）函数f（x）=lg（mx²+mx+1）的定义域为R，则m的取值范围是m∈（0，4）；
（3）若函数

在区间（-∞，1]上是减函数，则实数a∈[-3，-2]；
（4）若函数f（3x+1）是偶函数，则f（x）的图象关于直线

对称．
（5）若对于任意x∈（1，3）不等式x²-ax+2＜0恒成立，则

；
其中的真命题是（写出所有真命题的编号）．