Question

（本小题满分14分）已知函数在点处取得极值．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若关于的方程在区间上有两个不等实根，求的取值范围；

（Ⅲ）证明：对于任意的正整数，不等式都成立．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，

∴

∵函数在点处取得极值，

∴，即当时，

∴，则得.

（Ⅱ）∵,∴,

      ∴.

     令,

     则.

∵,

∴ 令, 解得；令, 解得，

∴可得如下当时，随的变化情况表：

	0	（0,1）	1	（1，2）	2
		+	0	-
	0	↗		↘

∵“关于的方程在区间上有两个不等实根”等价于“在内，函数的图像和直线有两个交点”，

∴由上表可知，.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知,

则.

∵解得,解得,

∴在递增，在递减，

∴当时，.

∵且，

∴,即,

∴,,,

∴.