Question

已知函数在点处取得极值。

（1）求实数a的值；

（2）若关于x的方程在区间[0，2]上有两个不等实根，求b的取值范围；

（3）证明：对于任意的正整数，不等式。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

由题意，     解得            ………………………………分

（Ⅱ）构造函数，则

令   得 

又知

∴ 当时，函数单调递增，当函数单调递减

方程在区间上有两个不同的实根，等价于函数在上有两个不同的零点，则只需

即

∴ 所求实数的取值范围是        …………………6分

（Ⅲ）构造函数，

则 

令    解得   …………分

当    时 ，是增函数

当   时 ，是减函数     ……………………………分

∴ 

∴ 

当时，有 

取  ，得 

即  ．

【解析】略