题目内容

17．某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件．经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y=kx+b的关系（如图所示）．
（1）根据图象，求一次函数y=kx+b的解析式．
（2）设公司获得的利润为S元（利润=销售总价-成本总价；销售总价=销售单价×销售量，成本总价=成本单价×销售量）．
①试用销售单价x表示利润S；
②试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？

分析 （1）首先根据一次函数y=kx+b的表达式代入数值化简，然后求出k，b并求出一次函数表达式；
（2）①通过（1）直接写出s的表达式并化简；
②根据二次函数求得最值．

解答 解：（1）由图象可知，$\left\{\begin{array}{l}{40=60k+b}\\{30=70k+b}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=100}\end{array}\right.$，
所以y=-x+100（50≤x≤80）；
（2）①由（1）
S=xy-50y
=（-x+100）（x-50）
=-x2+150x-5000，（50≤x≤80）．
②由①可知，S=-（x-75）2+625，
其图象开口向下，对称轴为x=75，
所以当x=75时，Smax=625．
即该公司可获得的最大毛利润为625元，
此时相应的销售单价为75元/件．

点评 本题考查函数模型的应用，以及一次函数，二次函数的应用，属于基础题．

练习册系列答案
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