Question

四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）求二面角D-PC-A的平面角的余弦值；
（3）求点B到平面PCD的距离．

Answer 1

【答案】分析：（ 1）要证BC⊥平面PAC，只需证明PA⊥BC，BC⊥AC即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而得到两个半平面的坐标，最后代入向量的夹角计算公式即可．
（3）先求出的坐标，再直接代入点到平面的距离计算公式即可．
解答：解：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC；（4分）
（2）取CD的中点E，则AE⊥CD，∴AE⊥AB．
又PA⊥底面ABCD，AE?面ABCD，∴PA⊥AE，（5分）
建立空间直角坐标系，如图．则



∴
∴
∴
∴
即二面角D-PC-A的平面角的余弦值为：．
（3）又B（0，2，0），=（0，2，-）．
由（2）取平面PCD的一个法向量=（2，0，1）
∴点B到平面PCD的距离的距离为d===．
点评：本题考查直线与平面垂直，二面角，点的平面的距离，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．