Question

已知函数f（x）=x³-6ax²，其中a≥0．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=3x²-12ax．…（2分）
令f'（x）=0，得x₁=0，x₂=4a．…（3分）
①当a=0时，f'（x）=3x²≥0，故f（x）在R上为增函数．…（4分）
②当4a＞0，即a＞0时，列表分析如下：

x	（-∞，0）	0	（0，4a）	4a	（4a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+

所以函数f（x）在（-∞，0）和（4a，+∞）内单调递增，在（0，4a）内单调递减．…（7分）
综上，当a=0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，f（x）在（-∞，0）和（4a，+∞）内单调递增，在（0，4a）内单调递减．
（Ⅱ）①当a=0时，f（x）在区间（0，1）内为增函数，所以f（x）_min=f（0）=0．…（9分）
②当0＜4a＜1时，即0＜a＜

1

4

时，f（x）在区间（0，4a）内为减函数，在（4a，1）内为增函数，所以f(x)min=f(4a)=-32a3．…（11分）
③当4a≥1时，即a≥

1

4

时，f（x）在区间（0，1）内为减函数，所以f（x）_min=f（1）=1-6a．
…（13分）
综上，当0≤a＜

1

4

时，f(x)min=-32a3；当a≥

1

4

时，f（x）_min=1-6a．