题目内容

已知向量 $数学公式$ 定义 $数学公式$ ．
（1）求函数y=f（x），x∈R的单调递减区间；
（2）若函数 $数学公式$ 为偶函数，求θ的值．

解：（1）函数y=f（x）= $\text{[math]}$ =2sinxcosx+2sin²x-1=sin2x-cos2x= $\text{[math]}$ sin（2x- $\text{[math]}$ ）．
令 2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，解得 kπ+ $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z．
故函数的减区间为[kπ+ $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
（2）若函数 $\text{[math]}$ 为偶函数，则y= $\text{[math]}$ sin[2（x+θ）- $\text{[math]}$ ]= $\text{[math]}$ sin（2x+2θ- $\text{[math]}$ ）为偶函数．
再由 $\text{[math]}$ 可得 2θ- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴θ= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用两个向量的数量积公式，以及三角函数的恒等变换化简函数的解析式为 $\text{[math]}$ sin（2x- $\text{[math]}$ ），根据 2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z求出函数的减区间．
（2）由题意可得 y= $\text{[math]}$ sin[2（x+θ）- $\text{[math]}$ ]为偶函数，再由 $\text{[math]}$ 可得 2θ- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此求得 θ的值．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性，属于中档题．