题目内容

精英家教网如图，点F2是⊙F1外的一点，点Q是⊙F1上的动点，射线F1Q交线段F2Q的中垂线于P，则点P一定在（　　）
分析：利用线段中垂线的性质，根据双曲线的定义，可得结论．
解答：解：由题意，∵射线F1Q交线段F2Q的中垂线于P，
∴|PQ|=|PF2|，∴|F1P|-|F2P|=|F1P|-|PQ|=|F1Q|，
∴由双曲线的定义，可得点P一定在以F1、F2为焦点，以|F1Q|为实轴长的双曲线上．
故选D．
点评：本题考查双曲线的定义，考查线段中垂线的性质，属于基础题．
练习册系列答案
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精英家教网如图，点P是双曲线C1：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)和圆C2：x2+y2=a2+b2的一个交点，Q是圆C2在x轴下方的一点，且∠F1QP=60o，其中F1、F2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为
 
．
我们把由半椭圆
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(x≥0)与半椭圆
y
2
 
b
2
 
+
x
2
 
c
2
 
=1(x≤0)合成的曲线称作“果圆”，其中
a
2
 
=
b
2
 
+
c
2
 
，a＞0，b＞c＞0．如图，点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2，分别是“果圆”与x，y轴的交点．当|A1A2|＞|B1B2|时，
b
a
的取值范围是
(
2
2
，
4
5
)
(
2
2
，
4
5
)
．
设动点P到两定点F1(-1，0 )和F2(1，0 ) 的距离分别为d1和d2，∠F1PF2=2θ，且存在常数λ（0＜λ＜1），使得d1d2sin2θ=λ，
（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
（2）如图过点F2的直线与双曲线C的右支交于A、B两点，问：是否存在λ，使△F1AB是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。

图6

我们把由半椭圆=1(x≥0)与半椭圆=1(x≤0)合成的曲线称作“果圆”,其中a2=b2+c2,a＞0,b＞c＞0.

如图6,点F0、F1、F2是相应椭圆的焦点,A1、A2和B1、B2分别是“果圆”与x、y轴的交点.〔(文)M是线段A1A2的中点〕

(1)(理)若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程.

(2)(理)当|A1A2|＞|B1B2|时,求的取值范围.

(文)设P是“果圆”的半椭圆=1(x≤0)上任意一点,求证:当|PM|取得最小值时,P在点B1、B2或A1处.

(3)(理)连结“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究:是否存在实数k,使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的k值;若不存在,请说明理由.

(文)若P是“果圆”上任意一点,求|PM|取得最小值时点P的横坐标.

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