Question

设动点P到两定点F₁(-1，0 )和F₂(1，0 ) 的距离分别为d₁和d₂，∠F₁PF₂=2θ，且存在常数λ（0＜λ＜1），使得d₁d₂sin²θ=λ，
（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
（2）如图过点F₂的直线与双曲线C的右支交于A、B两点，问：是否存在λ，使△F₁AB是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）在中，，
，
，
（小于2的常数），
故动点P的轨迹C是以为焦点，实轴长的双曲线，
方程为。
（2）在中，设，
假设为等腰直角三角形，则

由②与③得，
则，
由⑤得，
，
，
，
故存在满足题设条件。