Question

如图，公园有一块边长为2a的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.

(1)设AD＝x(x≥0)，ED＝y，求用x表示y的函数关系式；

(2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明.

Answer 1

解：(1)在△ADE中，y²＝x²＋AE²－2x·AE·cos60°y²＝x²＋AE²－x·AE,①

又S_△ADE＝ S_△ABC＝a²＝x·AE·sin60°x·AE＝2a².②

②代入①得y²＝x²＋－2a²(y＞0),

∴y＝(a≤x≤2a).

(2)如果DE是水管y＝≥,

当且仅当x²＝，即x＝a时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝a.

如果DE是参观线路，记f(x)＝x²＋，可知函数在[a，a]上递减，

在[a，2a]上递增，故f(x) _max＝f(a)＝f(2a)＝5a².

∴y _max＝.

即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.