Question

设f（x）在区间I上有定义，若对?x₁，x₂∈I，都有，则称f（x）是区间I的向上凸函数；若对?x₁，x₂∈I，都有，则称f（x）是区间I的向下凸函数，有下列四个判断：
①若f（x）是区间I的向上凸函数，则-f（x）在区间I的向下凸函数；
②若f（x）和g（x）都是区间I的向上凸函数，则f（x）+g（x）是区间I的向上凸函数；
③若f（x）在区间I的向下凸函数，且f（x）≠0，则是区间I的向上凸函数；
④若f（x）是区间I的向上凸函数，?x₁，x₂，x₃，x₄∈I，则有f（）≥
其中正确的结论个数是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：对于①②④直接利用函数是“凸函数”的定义，通过放缩法证明即可；对于③利用举反例的方法结合图象法即可进行判断．
解答：①若f（x）是区间I的向上凸函数，则对?x₁，x₂∈I，都有，
∴，
∴-f（x）在区间I的向下凸函数；正确．
②若f（x）和g（x）都是区间I的向上凸函数，则对?x₁，x₂∈I，都有，
，两式相加得
∴f（x）+g（x）是区间I的向上凸函数；正确．
③若f（x）在区间I的向下凸函数，且f（x）≠0，则不一定是区间I的向上凸函数；
如f（x）=e^x，，如图，

它们都是向下凸函数．故错．
④若f（x）是区间I的向上凸函数，
?x₁，x₂，x₃，x₄∈I，则有f（）=f（）
≥，故正确．
其中正确的结论个数是3．
故选C．
点评：本题考查命题的真假判断与应用以及放缩法证明问题的步骤，新定义的应用，考查分析问题与解决问题的能力．