题目内容
（2013•韶关一模）设f（x）在区间I上有定义，若对?x1，x2∈I，都有f(
)≥
，则称f（x）是区间I的向上凸函数；若对?x1，x2∈I，都有f(
)≤
，则称f（x）是区间I的向下凸函数，有下列四个判断：
①若f（x）是区间I的向上凸函数，则-f（x）在区间I的向下凸函数；
②若f（x）和g（x）都是区间I的向上凸函数，则f（x）+g（x）是区间I的向上凸函数；
③若f（x）在区间I的向下凸函数，且f（x）≠0，则
是区间I的向上凸函数；
④若f（x）是区间I的向上凸函数，?x1，x2，x3，x4∈I，则有f（
）≥
其中正确的结论个数是（ ）
| x1+x2 |
| 2 |
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
①若f（x）是区间I的向上凸函数，则-f（x）在区间I的向下凸函数；
②若f（x）和g（x）都是区间I的向上凸函数，则f（x）+g（x）是区间I的向上凸函数；
③若f（x）在区间I的向下凸函数，且f（x）≠0，则
| 1 |
| f(x) |
④若f（x）是区间I的向上凸函数，?x1，x2，x3，x4∈I，则有f（
| x1+x2+x3+x4 |
| 4 |
| f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4) |
| 4 |
其中正确的结论个数是（ ）
分析：对于①②④直接利用函数是“凸函数”的定义，通过放缩法证明即可；对于③利用举反例的方法结合图象法即可进行判断．
解答：解：①若f（x）是区间I的向上凸函数，则对?x1，x2∈I，都有f(
)≥
，
∴-f(
)≤
，
∴-f（x）在区间I的向下凸函数；正确．
②若f（x）和g（x）都是区间I的向上凸函数，则对?x1，x2∈I，都有f(
)≥
，
g(
)≥
，两式相加得f(
)+g(
)≥
+
∴f（x）+g（x）是区间I的向上凸函数；正确．
③若f（x）在区间I的向下凸函数，且f（x）≠0，则
不一定是区间I的向上凸函数；
如f（x）=ex，
=(
)x，如图，
它们都是向下凸函数．故错．
④若f（x）是区间I的向上凸函数，
?x1，x2，x3，x4∈I，则有f（
）=f（
）≥
≥
，故正确．
其中正确的结论个数是3．
故选C．
| x1+x2 |
| 2 |
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
∴-f(
| x1+x2 |
| 2 |
| -f(x1)-f(x2) |
| 2 |
∴-f（x）在区间I的向下凸函数；正确．
②若f（x）和g（x）都是区间I的向上凸函数，则对?x1，x2∈I，都有f(
| x1+x2 |
| 2 |
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
g(
| x1+x2 |
| 2 |
| g(x1)+g(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| g(x1)+g(x2) |
| 2 |
∴f（x）+g（x）是区间I的向上凸函数；正确．
③若f（x）在区间I的向下凸函数，且f（x）≠0，则
| 1 |
| f(x) |
如f（x）=ex，
| 1 |
| f(x) |
| 1 |
| e |
它们都是向下凸函数．故错．
④若f（x）是区间I的向上凸函数，
?x1，x2，x3，x4∈I，则有f（
| x1+x2+x3+x4 |
| 4 |
| ||||
| 2 |
f(
| ||||
| 2 |
≥
| f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4) |
| 4 |
其中正确的结论个数是3．
故选C．
点评：本题考查命题的真假判断与应用以及放缩法证明问题的步骤，新定义的应用，考查分析问题与解决问题的能力．
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