题目内容

（1）如果两个实数u＜v，求证： $数学公式$ ．
（2）定义　设函数F（x）和f（x）都在区间I上有定义，若对I的任意子区间[u，v]，总有[u，v]上的p和q，使有不等式 $数学公式$ 成立，则称F（x）是f（x）在区间I上的甲函数，f（x）是F（x）在区间I上的乙函数．
请根据乙函数定义证明：在（0，+∞）上，函数 $数学公式$ 是 $数学公式$ 的乙函数．

解：（1）证：由u＜v有 2u＜u+v＜2v．即 $\text{[math]}$
（2 ）证明：对0＜u＜v有 $\text{[math]}$
不等式 $\text{[math]}$
表明， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的乙函数．
分析：（1）由u＜v有 2u＜u+v＜2v，结合u+v═ $\text{[math]}$ ，可证；
（2）根据f（x）是F（x）在区间I上的乙函数的定义，只需证： $\text{[math]}$ ．
点评：本题以函数为载体，考查新定义，考查新函数的运用，关键是理解新定义．

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已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足：①f（0）=0；②?x∈R，f（x）≥x；③f（-

-x）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）试讨论函数g（x）=f（x）-2x在区间[-2，2]内的单调性；
（3）是否存在实数t，使得函数h（x）=f（x）-x²-x+t与函数u（x）=|log₂x|（x∈（0，2]）的图象恒有两个不同交点，如果存在，求出相应t的取值范围；如果不存在，说明理由．

（1）如果两个实数u＜v，求证：2u＜

＜2v．
（2）定义设函数F（x）和f（x）都在区间I上有定义，若对I的任意子区间[u，v]，总有[u，v]上的p和q，使有不等式f(p)≤

≤f(q)成立，则称F（x）是f（x）在区间I上的甲函数，f（x）是F（x）在区间I上的乙函数．
请根据乙函数定义证明：在（0，+∞）上，函数g(x)=

的乙函数．

（2009•金山区二模）（1）设u、v为实数，证明：u²+v²≥

；（2）请先阅读下列材料，然后根据要求回答问题．
材料：已知△LMN内接于边长为1的正三角形ABC，求证：△LMN中至少有一边的长不小于

．
证明：线段AN、AL、BL、BM、CM、CN的长分别设为a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂，设LN、LM、MN的长为x、y、z，
x²=a₁²+a₂²-2a₁a₂cos60°=a₁²+a₂²-a₁a₂
同理：y²=b₁²+b₂²-b₁b₂，z²=c₁²+c₂²-c₁c₂，
x²+y²+z²=a₁²+a₂²+b₁²+b₂²+c₁²+c₂²-a₁a₂-b₁b₂-c₁c₂
…
请利用（1）的结论，把证明过程补充完整；
（3）已知n边形A₁′A₂′A₃′…A_n′内接于边长为1的正n边形A₁A₂…A_n，（n≥4），思考会有相应的什么结论？请提出一个的命题，并给与正确解答．
注意：第（3）题中所提问题单独给分，解答也单独给分．本题按照所提问题的难度分层给分，解答也相应给分，如果同时提出两个问题，则就高不就低，解答也相同处理．

（1）如果两个实数u＜v，求证：2u＜

＜2v．
（2）定义设函数F（x）和f（x）都在区间I上有定义，若对I的任意子区间[u，v]，总有[u，v]上的p和q，使有不等式f(p)≤

≤f(q)成立，则称F（x）是f（x）在区间I上的甲函数，f（x）是F（x）在区间I上的乙函数．
请根据乙函数定义证明：在（0，+∞）上，函数g(x)=

的乙函数．