Question

（1）如果两个实数u＜v，求证：2u＜

v2-u2

v-u

＜2v．
（2）定义  设函数F（x）和f（x）都在区间I上有定义，若对I的任意子区间[u，v]，总有[u，v]上的p和q，使有不等式f(p)≤

F(u)-F(v)

u-v

≤f(q)成立，则称F（x）是f（x）在区间I上的甲函数，f（x）是F（x）在区间I上的乙函数．
请根据乙函数定义证明：在（0，+∞）上，函数g(x)=

1

2 x

是f(x)=

x

的乙函数．

Answer 1

分析：（1）由u＜v有 2u＜u+v＜2v，结合u+v═

v2-u2

v-u

，可证；
（2）根据f（x）是F（x）在区间I上的乙函数的定义，只需证：g(v)=

1

2 v

≤

f(v)-f(u)

v-u

≤

1

2 u

=g(u)．

解答：解：（1）证：由u＜v有 2u＜u+v＜2v．  即 2u＜

v2-u2

v-u

＜2v
（2 ）证明：对0＜u＜v有

f(v)-f(u)

v-u

=

v - u

v-u

=

1

v + u

不等式g(v)=

1

2 v

≤

1

u + v

≤

1

2 u

=g(u)
表明，g(x)=

1

2 x

是f(x)=

x

的乙函数．

点评：本题以函数为载体，考查新定义，考查新函数的运用，关键是理解新定义．