Question

已知y=f（x）满足f（n-1）=f（n）-lga^n-1（n≥2，n∈N）且f（1）=-lga，是否存在实数α、β使f（n）=（αn²+βn-1）lga对任何n∈N*都成立，证明你的结论．

Answer 1

∵f（n）=f（n-1）+lga^n-1，令n=2，
则f（2）=f（1）+f（a）=-lga+lga=0．
又f（1）=-lga，
∴

α+β=0 2α+4β=1

∴

α= 1 2 β=- 1 2

∴f（n）=（

1

2

n²-

1

2

n-1）lga．
证明：（1）当n=1时，显然成立．
（2）假设n=k时成立，即f（k）=（

1

2

k²-

1

2

k-1）lga，
则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+lga^k=f（k）+klga=（

1

2

k²-

1

2

k-1+k）lga=[

1

2

（k+1）²-

1

2

（k+1）-1]lga．
∴当n=k+1时，等式成立．
综合（1）（2）可知，存在实数α、β且α=

1

2

，β=-

1

2

，使f（n）=（αn²+βn-1）lga对任意n∈N*都成立．