Question

已知函数f（x）满足f（log_ax）=

a(x2-1)

x(a2-1)

，（其中a＞0且a≠1）
（1）求f（x）的解析式及其定义域；
（2）在函数y=f（x）的图象上是否存在两个不同的点，使过两点的直线与x轴平行，如果存在，求出两点；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用换元法求函数的解析式和定义域，设t=log_ax，则x=a^t，t∈R，代入原函数即可的函数f（x）的解析式，（2）利用函数单调性的定义证明函数f（x）为定义域上的单调函数即可说明不存在两个不同的点，使过两点的直线与x轴平行

解答：解：（1）设t=log_ax，则x=a^t，t∈R
∴f（t）=

a(a2t-1)

at(a2-1)

=

a

a2-1

×

a2t-1

at

=

a

a2-1

(at-a-t)   (t∈R)
∴f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)(x∈R)，定义域为R
（2）不存在，理由如下：
设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
则f(x1)-f(x2)=

a

a2-1

(ax1-a-x1-ax2+a-x2)
=

a

a2-1

(ax1-ax2+ 

ax1-ax2

ax1+x2

)
=

a(ax1-ax2)(ax1+x2+1)

(a2-1)ax1+x2

∵ax1+x2+1＞0，ax1+x2＞0，而不论a＞1 还是0＜a＜1 ax1-ax2与a²-1同号
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函数．
故在函数y=f（x）的图象上不存在两个不同的点，使过两点的直线与x轴平行．

点评：本题考查了换元法求函数的解析式和定义域，函数单调性的定义及其证明，代数变换推理证明能力