Question

已知y=f（x）满足f（n-1）=f（n）-lga^n-1（n≥2，n∈N）且f（1）=-lga，是否存在实数α、β使f（n）=（αn²+βn-1）lga对任何n∈N*都成立，证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：本题考查的知识点是数学归纳法，要讨论是否存在实数α、β使f（n）=（αn²+βn-1）lga对任何n∈N*都成立，我们先要根据“凑配”法解抽象函数的方法，求出对应的α、β，再利用数学归纳法进行证明．
解答：解：∵f（n）=f（n-1）+lga^n-1，令n=2，
则f（2）=f（1）+f（a）=-lga+lga=0．
又f（1）=-lga，
∴
∴
∴f（n）=（n²-n-1）lga．
证明：（1）当n=1时，显然成立．
（2）假设n=k时成立，即f（k）=（k²-k-1）lga，
则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+lga^k=f（k）+klga=（k²-k-1+k）lga=[（k+1）²-（k+1）-1]lga．
∴当n=k+1时，等式成立．
综合（1）（2）可知，存在实数α、β且α=，β=-，使f（n）=（αn²+βn-1）lga对任意n∈N*都成立．
点评：认证问题是高考中难度较大的问题，我们一般的处理方法是，先用特殊值代入等方法求出满足条件的参数的值，再利用数学归纳法等对其进行严谨的论证，最后得到题目要求的结论．