Question

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记T_n=$\frac{{a}_{n}{•a}_{n+1}}{{2}^{n}}$，若对于一切的正整数n，总有T_n≤m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1计算可知a_n=3n，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知T_n=$\frac{9{n}^{2}+9n}{{2}^{n}}$，通过计算可知当n=2或3时T_n取最大值为$\frac{27}{2}$，进而可得结论．

解答 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=（$\frac{3}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n）-[$\frac{3}{2}$（n-1）²+$\frac{3}{2}$（n+1）]
=3n，
又∵S₁=$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$=3满足上式，
∴a_n=3n；
（2）由（1）可知T_n=$\frac{{a}_{n}{•a}_{n+1}}{{2}^{n}}$=$\frac{9{n}^{2}+9n}{{2}^{n}}$，
∵T₁=$\frac{9+9}{2}$=9，T₂=$\frac{9×{2}^{2}+9×2}{{2}^{2}}$=$\frac{27}{2}$，T₃=$\frac{9×{3}^{2}+9×3}{{2}^{3}}$=$\frac{27}{2}$，T₄=$\frac{9×{4}^{2}+9×4}{{2}^{4}}$=$\frac{45}{4}$，
且当n≥4时，T_n-T_n+1=$\frac{9{n}^{2}+9n}{{2}^{n}}$-$\frac{9（n+1）^{2}+9（n+1）}{{2}^{n+1}}$=$\frac{9[（n-1）^{2}-3]}{{2}^{n+1}}$＞0，即T_n≤T₄=$\frac{45}{4}$，
∴当n=2或3时，T_n取最大值为$\frac{27}{2}$，
∴m≥$\frac{27}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．