Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=1，AD=2，E是BC的中点．
（Ⅰ）求证：直线BB₁∥平面D₁DE；
（Ⅱ）求证：平面A₁AE⊥平面D₁DE；
（Ⅲ）求三棱锥A-A₁DE的体积．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据长方体的几何特征，我们易得到BB₁∥DD₁，结合线面平行的判定定理，即可得到直线BB₁∥平面D₁DE；
（Ⅱ）由已知中长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=1，AD=2，E是BC的中点，利用勾股定理，我们易证明出AE⊥DE，及DD₁⊥AE，根据线面垂直的判定定理，可得AE⊥平面D₁DE，进而由面面垂直的判定定理得到平面A₁AE⊥平面D₁DE；
（Ⅲ）三棱锥A-A₁DE可看作由AA1为高，以三角形ADE为底面的棱锥，分别求出棱锥的高和底面面积，代入棱锥的体积公式即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）证明：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁∥DD₁，
又∵BB₁?平面D₁DE，DD₁⊆平面D₁DE
∴直线BB₁∥平面D₁DE（4分）
（Ⅱ）证明：在长方形ABCD中，∵AB=AA₁=1，AD=2，
∴，
∴AE²+DE²=4=AD²，故AE⊥DE，（6分）
∵在长方形ABCD中有DD₁⊥平面ABCD，AE⊆平面ABCD，
∴DD₁⊥AE，（7分）
又∵DD₁∩DE=D，
∴直线AE⊥平面D₁DE，（8分）
而AE⊆平面A₁AE，
所以平面A₁AE⊥平面D₁DE．（10分）
（Ⅲ）==．（14分）．
点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，直线与平面平行的判定，其中熟练掌握空间直线与平面平行、垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理及长方体的几何特征是解答本题的关键．