Question

【题目】已知椭圆C： 的离心率 ，且过点Q
（1）求椭圆C的方程．
（2）椭圆C长轴两端点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的动点，定直线x=4与直线PA，PB分别交于M，N两点，直线PA，PB的斜率分别为k1 ， k2①证明 ；
②若E（7，0），过E，M，N三点的圆是否过x轴上不同于点E的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：椭圆C： 焦点在x轴上，由e= = ，即a=2c，

则b2=a2﹣c2=3c2，

由椭圆过点Q ，代入 ，解得：c=1，

∴a=2，b= ，

∴椭圆的标准方程：

（2）解：①证明：由（1）得A（﹣2，0），B（2，0），设P（x，y），

则 ，

②设PA，PB的斜率分别为k1，k2，P（x0，y0），则k1k2=﹣ ，

可令PA：y=k1（x+2），则M（4，6k1），

PB：y=k2（x﹣2），则N（4，2k2），

又kEM=﹣ =﹣2k1，kEN=﹣ ，

∴kEMkEN=﹣1，

设圆过定点F（m，0），则 =﹣1，解得m=1或m=7（舍），

故过点E，M，N三点的圆是以MN为直径的圆，过x轴上不同于点E的定点F（1，0）

【解析】（1）由题意可知：e= = ，即a=2c，b2=a2﹣c2=3c2 ， 将Q 代入椭圆方程，即可求得c的值，则求得a和b的值，即可求得椭圆C的方程；（2）①由（1）得A（﹣2，0），B（2，0），设P（x，y），由直线的斜率公式可知：则 ，②令PA：y=k1（x+2），则M（4，6k1），同理求得N（4，2k2），kEM=﹣ =﹣2k1 ， kEN=﹣ ， =﹣1，即可求得m=1，故过点E，M，N三点的圆是以MN为直径的圆，过x轴上不同于点E的定点F（1，0）．