Question

设A=[-1，1]，B=[-

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2

，

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2

]，函数f（x）=2x²+mx-1．
（1）设不等式f（x）≤0的解集为C，当C⊆（A∪B）时，求实数m取值范围；
（2）若对任意x∈R，都有f（1+x）=f（1-x）成立，试求x∈B时，f（x）的值域；
（3）设g（x）=|x-a|-x²-mx（a∈R），求f（x）+g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）依题意，C⊆A∪B=A=[-1，1]，二次函数f（x）=2x²+mx-1图象开口向上，且△=m²+8＞0恒成立，图象始终与x轴有两个交点?

f(-1)≥0 f(1)≥0 -1＜- m 4 ＜1

，从而可求得实数m取值范围；
（2）由于f（x）象关于直线x=1对称，可得m=-4，由f（x）=2（x-1）²-3为[-

2

2

，

2

2

]上减函数可求得x∈B时，f（x）的值域；
（3）令φ（x）=f（x）+g（x），则φ（x）=x²+|x-a|-1，分x≤a与x≥a先去掉绝对值符号，再根据其对称轴对a分类讨论，利用函数的单调性即可求得答案．

解答：解：（1）∵A=[-1，1]，B=[-

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2

，

2

2

]，C⊆A∪B=A，二次函数f（x）=2x²+mx-1图象开口向上，且△=m²+8＞0恒成立，
故图象始终与x轴有两个交点，由题意，要使这两个交点横坐标x₁，x₂∈[-1，1]，当且仅当：

f(-1)≥0 f(1)≥0 -1＜- m 4 ＜1

，…（4分），解得：-1≤m≤1  …（5分）
（2）对任意x∈R都有f（1+x）=f（1-x），所以f（x）象关于直线x=1对称，所以-

m

4

=1，得m=-4．（7分）
所以f（x）=2（x-1）²-3为[-

2

2

，

2

2

]上减函数．f（x）_min=-2

2

；f（x）_max=2

2

．故x∈B时，f（x）值域为[-2

2

，2

2

]．…（9分）
（3）令φ（x）=f（x）+g（x），则φ（x）=x²+|x-a|-1，
（i）当x≤a时，φ（x）=x²-x+a-1=(x-

1

2

)2+a-

5

4

，
当a≤

1

2

，则函数φ（x）在（-∞，a]上单调递减，从而函数φ（x）在（-∞，a]上的最小值为φ（a）=a²-1．
若a＞

1

2

，则函数φ（x）在（-∞，a]上的最小值为φ（

1

2

）=-

5

4

+a，且φ（-

1

2

）≤φ（a）．（12分）
（ii）当x≥a时，函数φ（x）=x²+x-a-1=(x+

1

2

)2-a-

5

4

，
若a≤-

1

2

，则函数φ（x）在（-∞，a]上的最小值为φ（-

1

2

）=-

5

4

-a，且φ（-

1

2

）≤φ（a），
若a＞-

1

2

，则函数φ（x）在[a，+∞）上单调递增，
从而函数φ（x）在[a，+∞）上的最小值为φ（a）=a²-1．…（15分）
综上，当a≤-

1

2

时，函数φ（x）的最小值为-

5

4

-a，当-

1

2

＜a≤

1

2

时，函数φ（x）的最小值为a²-1；当a＞

1

2

时，函数φ（x）的最小值为-

5

4

+a．        …（16分）

点评：本题考查带绝对值的函数，考查集合关系中的参数取值问题，突出考查二次函数的性质，考查综合分析与运算能力，考查分类讨论思想，化归思想，方程思想的运用，属于难题．