Question

4．点O是△ABC所在平面内的一点（O不在直线BC上），若$\overrightarrow{OA}$=3$\overrightarrow{OB}$+$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{OC}$，则△ABC与△OBC的面积之比为（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{7}{3}$
• C． $\frac{7}{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 连接OA，交BC于P，根据三点共线设$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OB}+（1-x）\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OA}=t\overrightarrow{OP}$=xt$\overrightarrow{OB}$+t（1-x）$\overrightarrow{OC}$，利用平面向量的基本定理列方程组解得t即可得出AP，OP的数量关系，从而得出三角形的面积比．

解答 解：连接OA，交BC于P，
∵B，P，C三点共线，不妨设$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OB}+（1-x）\overrightarrow{OC}$，
又A，P，O三点共线，设$\overrightarrow{OA}=t\overrightarrow{OP}$=xt$\overrightarrow{OB}$+t（1-x）$\overrightarrow{OC}$，
∵$\overrightarrow{OA}$=3$\overrightarrow{OB}$+$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{OC}$
∴$\left\{\begin{array}{l}{xt=3}\\{t（1-x）=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得t=$\frac{9}{2}$．
∴O在AP的延长线上．
∴AP=$\frac{7}{2}$OP．
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△OBC}}=\frac{AP}{OP}$=$\frac{7}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，向量线性运算的几何意义，属于中档题．