Question

9．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为②③④．
①若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＞0，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角；
②对?x，y∈R，若x+y≠0，则x≠1，或y≠-1；
③若实数x，y满足x²+y²=1，则$\frac{y}{x+2}$的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
④函数f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象关于点（$\frac{2π}{3}$，0）对称．

Answer 1

分析 ①当＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=0满足条件，但结论不成立，
②根据逆否命题的等价性进行判断，
③根据直线和圆的位置关系进行判断，
④根据三角函数的对称性进行判断．

解答 解：①当＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=0时，满足$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos0=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|＞0，但$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为不是锐角；故①错误，
②对?x，y∈R，若x+y≠0，则x≠1，或y≠-1的等价条件是若x=1且y=-1时，则x+y=0，为真命题．，
则命题的逆否命题也为真命题，故②正确，
③若实数x，y满足x²+y²=1，则设k=$\frac{y}{x+2}$，即y=kx+2k，kx-y+2k=0，
则满足圆心到直线的距离d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤1，
即|2k|≤$\sqrt{1+{k}^{2}}$，平方得4k²≤1+k²，则k²≤$\frac{1}{3}$，则-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{y}{x+2}$的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$正确，故③正确；
④∵f（$\frac{2π}{3}$）=3sin（2×$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{3}$）=3sinπ=0，
∴函数f（x）的图象关于点（$\frac{2π}{3}$，0）对称．故④正确，
故答案为：②③④

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，但难度不大．