Question

19．已知函数f（x）=2sin（π-x）•cosx-2sin²x+1，若f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₀∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），则cos2x₀等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{9}$

Answer 1

分析 由三角函数恒等变换的应用化简可得解析式f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），利用已知解得sin（x₀+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，根据角的范围，可求cos（x₀+$\frac{π}{4}$）的值，由诱导公式及倍角公式即可解得cos2x₀=sin（2x₀+$\frac{π}{2}$）=sin[2（x₀+$\frac{π}{4}$）]的值．

解答 解：∵f（x）=2sin（π-x）•cosx-2sin²x+1=sin2x-2×$\frac{1-cos2x}{2}$+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
又∵f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）=$\sqrt{2}$sin（x₀+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得：sin（x₀+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∵x₀∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），x₀+$\frac{π}{4}$∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cos（x₀+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-\frac{1}{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$，
∴cos2x₀=sin（2x₀+$\frac{π}{2}$）=sin[2（x₀+$\frac{π}{4}$）]=2sin（x₀+$\frac{π}{4}$）cos（x₀+$\frac{π}{4}$）=2×$\frac{\sqrt{6}}{6}×\frac{\sqrt{30}}{6}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了三角函数和的变换的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式是解题的关键，同时要注意分析角的范围，属于基础题．