Question

11．已知函数f（x）=3tan（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$）．
（1）求f（x）的定义域和值域．
（2）讨论f（x）的周期和单调区间．
（3）求f（x）的对称中心．

Answer 1

分析 （1）根据正切函数的定义，令$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可求出f（x）的定义域和值域；
（2）根据$\frac{π}{ω}$求出f（x）的最小正周期，再根据正切函数的单调性求出f（x）的单调区间；
（3）根据$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z时y=0，求出f（x）的对称中心．

解答 解：（1）∵函数f（x）=3tan（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$），
∴$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即x≠2kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈Z；
∴f（x）的定义域为{x|x≠2kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈Z}，
值域为R；
（2）∵$\frac{π}{\frac{1}{2}}$=2π，∴f（x）的最小正周期是2π；
又令-$\frac{π}{2}$+kπ＜$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{3}$+2kπ＜x＜$\frac{5π}{3}$+2kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间为（-$\frac{π}{3}$+2kπ，$\frac{5π}{3}$+2kπ），k∈Z；
（3）令$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{2π}{3}$+2kπ，k∈Z，
此时y=f（x）=0；
∴函数f（x）的对称中心为（$\frac{2π}{3}$+2kπ，0），k∈Z．

点评 本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，解题时应熟记正切函数的定义域、值域和单调性与周期性，是基础题目．