Question

1．函数f（x）=2^2x-（m-1）2^x+2在x∈[0，2]只有一个零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 令2^x=t，由x∈[0，2]可得t∈[1，4]，换元可得y=t²-（m-1）t+2，t∈[1，4]，则g（t）=t²-（m-1）t+2，t∈[1，4]只有一个零点，分类讨论满足条件的m的取值，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：令2^x=t，由x∈[0，2]可得t∈[1，4]，
换元可得y=t²-（m-1）t+2，t∈[1，4]，
令g（t）=t²-（m-1）t+2，t∈[1，4]，
若g（t）=t²-（m-1）t+2只有一个零点，
则△=（m-1）²-8=0，
解得：m=1-$2\sqrt{2}$，t=-$\sqrt{2}$（舍去），或m=1+$2\sqrt{2}$，t=$\sqrt{2}$，
若g（t）=t²-（m-1）t+2有两个零点，
有一个在[1，4]上，则g（1）•g（4）≤0，
即（4-m）（22-4m）≤0，
解得：m∈[4，$\frac{11}{2}$]，
综上所述：m∈[4，$\frac{11}{2}$]∪{1+2$\sqrt{2}$}

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数零点的判定定理，分类讨论思想，难度中档．