Question

已知抛物线顶点在原点，焦点是圆x²+y²-4x+3=0的圆心F，如图．
（1）求抛物线的方程；
（2）是否存在过圆心F的直线l与抛物线、圆顺次交于A、B、C、D，且使得

.

AB

.

，2

.

BC

.

，

.

CD

.

成等差数列，若直线l存在，求出它的方程；若直线l不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）化圆的一般式方程为标准方程，求出圆的圆心，则抛物线的方程可求；
（2）假设满足条件的直线存在，分斜率存在和不存在分类讨论，斜率不存在时直接写出方程，代入曲线方程后求出线段的长度验证，斜率存在时设出直线方程，和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系得到A和D的横坐标的和，由给出的条件转化为直线截抛物线所得弦长，利用抛物线的定义列式求解．

解答：解：（1）圆的方程为（x-2）²+y²=1，圆心F坐标是（2，0），
即抛物线的焦点坐标是（2，0），所以抛物线的方程是y²=8x．

（2）∵|AB|，2|BC|，|CD|成等差数列，且BC为圆的直径，
∴|AB|+|CD|=4|BC|=8，|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10．
设直线l存在，则当直线的斜率不存在时，直线l的方程是x=2，
代入y²=8x，得y=±4，所以|AD|=|y₁-y₂|=8≠10，此时直线l不合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-2）（k≠0），且设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
解方程组

y=k(x-2) y2=8x

，消去y得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0．
∴x1+x2=

4k2+8

k2

，又∵抛物线的准线方程为x=-2，∴由抛物线的定义得：
|AD|=（x₁+2）+（x₂+2）=10，即x₁+x₂=6，∴

4k2+8

k2

=6，解得k=±2．
此时△＞0，所以存在符合题意的直线l，其方程为y=±2（x-2），
综上，存在直线l，其方程为2x-y-4=0或2x+y-4=0．

点评：本题考查了抛物线的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，考查了分类讨论的数学思想方法，灵活运用抛物线的定义是解答此题的关键，属难题．