题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）当a=1时，?x₀∈[1，e]使不等式f（x₀）≤m，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．

解：（I）当a=1时， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$
可知当x∈[1，e]时f（x）为增函数，
最小值为 $\text{[math]}$ ，
要使?x₀∈[1，e]使不等式f（x₀）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，
故实数m的取值范围是 $\text{[math]}$
（2）已知函数 $\text{[math]}$ ．
若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，
等价于对任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，
即 $\text{[math]}$ 恒成立．
设 $\text{[math]}$ ．
即g（x）的最大值小于0. $\text{[math]}$
（1）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 为减函数．
∴g（1）=-a- $\text{[math]}$ ≤0
∴a≥- $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（2）a≥1时， $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ 为增函数，
g（x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件．
（3）当 $\text{[math]}$ 时，g（x）在 $\text{[math]}$ 上为减函数，在 $\text{[math]}$ 上为增函数，
同样最大值可无穷大，不满足题意．综上．实数a的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）将a的值代入f（x），求出f（x）的导函数；，将?x₀∈[1，e]使不等式f（x₀）≤m转化为f（x）的最小值小于等于m，利用[1，e]上的函数递增，求出f（x）的最小值，令最小值小于等于m即可．
（II）将图象的位置关系转化为不等式恒成立；通过构造函数，对新函数求导，对导函数的根与区间的关系进行讨论，求出新函数的最值，求出a的范围．
点评：解决不等式恒成立及不等式有解问题一般都转化为函数的最值问题，通过导数求函数的最值，进一步求出参数的范围．