Question

16．已知tanα，tanβ是方程3x²+5x-7=0的两根，求下列各式的值：
（1）tan（α+β）；
（2）$\frac{sin（α+β）}{cos（α-β）}$；
（3）cos²（α+β）

Answer 1

分析 由条件利用韦达定理求得tanα+tanβ和tanα•tanβ 的值，再利用两角和差的三角公式、同角三角函数的基本关系求得各个式子的值．

解答 解：由tanα，tanβ是方程3x²+5x-7=0的两根，可得 tanα+tanβ=-$\frac{5}{3}$，tanα•tanβ=-$\frac{7}{3}$．
（1）tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=$\frac{-\frac{5}{3}}{1+\frac{7}{3}}$=-$\frac{1}{2}$；
（2）$\frac{sin（α+β）}{cos（α-β）}$=$\frac{sinαcosβ+cosαsinβ}{cosαcosβ+sinαsinβ}$=$\frac{tanα+tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{-\frac{5}{3}}{1-\frac{7}{3}}$=$\frac{5}{4}$；
（3）cos²（α+β）=$\frac{{cos}^{2}（α+β）}{{cos}^{2}（α+β）{+sin}^{2}（α+β）}$=$\frac{1}{1{+tan}^{2}（α+β）}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、韦达定理、两角和差的三角公式的应用，属于基础题．