Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．
（I）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：法一：（I）先证明直线AB₁垂直平面A₁BD内的两条相交直线BD、A₁B，即可证明AB₁⊥平面A₁BD；
（II）设AB₁与A₁B交于点C，在平面A₁BD中，作GF⊥A₁D于F，连接AF，
说明∠AFG为二面A-A₁B-B的平面角，然后求二面角A-A₁D-B的大小．
法二：取BC中点O，连接AO，以0为原点，的方向为
x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出，
即可证明AB₁⊥平面A₁BD．
求出平面A₁AD的法向量为n=（x，y，z），为平面A₁BD的法向量，
然后求二者的数量积，求二面角A-A₁D-B的大小．
解答：解：法一：（I）取BC中点O，连接AO、
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B₁，
连接B₁O，在正方形BB₁C₁C中，O、D分别为BC、CC₁的中点，
∴B₁O⊥BD，
∴AB₁⊥BD．
在正方形ABB₁A₁中，AB₁⊥A₁B，
∴AB₁⊥平面A₁BD．

（II）设AB₁与A₁B交于点G，在平面A₁BD中，作GF⊥A₁D于F，连接AF，由（I）得AB₁⊥平面A₁BD，
∴∠AFG为二面A-A₁D-B的平面角、
在△AA₁D中，由等面积法可求得AF=，又∵AG==，
∴sin∠AFG=，
所以二面角A-A₁D-B的大小为arcsin．

法二：（I）取BC中点O，连接AO．
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC、
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B₁、
取B₁C₁中点O₁，以0为原点，的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（-1，1，0），A₁（0，2，），A（0，0，），B₁（1，2，0），
∴
∵，
∴⊥⊥，
∴AB₁⊥平面A₁BD．

（II）设平面A₁AD的法向量为=（x，y，z）、．
∵⊥⊥，
∴∵∴
令z=1得=（-，0，1）为平面A₁AD的一个法向量．
由（I）知AB₁⊥A₁BD．
∴为平面A₁BD的法向量．
cos＜，＞===-．
∴二面角A-A₁D-B的大小为arccos．
点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．