题目内容
某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2≤a≤5 ）的税收．设每件产品的售价为x元（35≤x≤41），根据市场调查，日销售量与ex（e为自然对数的底数）成反比例．已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件．（1）求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x元的函数关系式；
（2）当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值．
分析：（1）日销售量与ex（e为自然对数的底数）成反比例，则有售量为
，再结合利润=收入-支出问题可以得到解决．
（2）求解函数的最值，导数是十分重要的工具，利用分段函数的性质进行求解．
| k |
| ex |
（2）求解函数的最值，导数是十分重要的工具，利用分段函数的性质进行求解．
解答：解：（1）设日销售量为
，则
=10，
∴k=10e40，则日售量为
件．（2分）
则日利润L(x)=(x-30-a)
=10e40
；（4分）
（2）L′(x)=10e40
（7分）
①当2≤a≤4时，33≤a+31≤35，当35＜x＜41时，L′（x）＜0
∴当x=35时，L（x）取最大值为10（5-a）e5（10分）
②当4＜a≤5时，35≤a+31≤36，令L′（x）=0，得x=a+31，
易知当x=a+31时，L（x）取最大值为10e9-a（13分）
综合上得L(x)max=
．（15分）
| k |
| ex |
| k |
| e40 |
∴k=10e40，则日售量为
| 10e40 |
| ex |
则日利润L(x)=(x-30-a)
| 10e40 |
| ex |
| x-30-a |
| ex |
（2）L′(x)=10e40
| 31+a-x |
| ex |
①当2≤a≤4时，33≤a+31≤35，当35＜x＜41时，L′（x）＜0
∴当x=35时，L（x）取最大值为10（5-a）e5（10分）
②当4＜a≤5时，35≤a+31≤36，令L′（x）=0，得x=a+31，
易知当x=a+31时，L（x）取最大值为10e9-a（13分）
综合上得L(x)max=
|
点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．
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元（
(e为自然对数的底数)成反比例。已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件。
(1)求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x元的函数关系式；
元（
(e为自然对数的底数)成反比例。已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件。
元（
(e为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件.