Question

已知命题p：?x∈[0，1]，k•4^x-k•2^x+1+6（k-5）=0．若命题p是假命题，则实数k的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：非p：对一切x∈[0，1]，都有k•4^x-k•2^x+1+6（k-5）≠0是真命题，构造函数f（x）=k•4^x-k•2^x+1+6（k-5），利用二次函数的性质，可知f（x）在区间[0，1]没有零点，
可以求出k的范围；
解答：解：由已知，命题非p：对一切x∈[0，1]，k•4^x-k•2^x+1+6（k-5）≠0在x∈[0，1]有解是真命题，
构造函数f（x）=k•4^x-k•2^x+1+6（k-5），则f（x）=k•4^x-k•2^x+1+6（k-5），在区间[0，1]没有零点，
令2^x=t≥0，可得f（x）=kt²-2kt+6（k-5）=k（t-1）²+5k-30，其对称轴为x=1，∴f（x）在区间[0，1]上是单调的，
要求f（x）=k•4^x-k•2^x+1+6（k-5），在区间[0，1]没有零点，
∴f（0）×f（1）＞0，即5（k-6）×6（k-5）＞0，
∴k＞6或k＜5
即实数k的取值范围是（-∞，5）∪（6，+∞），
故答案为（-∞，5）∪（6，+∞）．
点评：此题考查了二次函数的性质，还考查了转化化归的思想与转化的技巧，对知识熟练程度与知识的衔接要求较高．