Question

已知函数，在定义域内有且只有一个零点，存在， 使得不等式成立. 若，是数列的前项和.
（I）求数列的通项公式；
（II）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数，令（n为正整数），求数列的变号数；
（Ⅲ）设（且），使不等式
恒成立，求正整数的最大值

Answer 1

解：（I）∵在定义域内有且只有一个零点
            ……1分
当=0时，函数在上递增    故不存在，
使得不等式成立        …… 2分
综上，得    …….3分

    …………4分                
（II）解法一：由题设
时，
时，数列递增           
由               可知
即时，有且只有1个变号数；    又
即            ∴此处变号数有2个
综上得数列共有3个变号数，即变号数为3           ……9分
解法二：由题设            
当时，令

又时也有   
综上得数列共有3个变号数，即变号数为3      …………9分
（Ⅲ）且时，

可转化为   ．
设，
则当且，

.
所以，即当增大时，也增大．
要使不等式对于任意的恒成立，
只需即可．因为，
所以.      即
所以，正整数的最大值为5．                             ……………13分

略