Question

在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA₁＝4，点D是AB的中点，如图所示．

(1)求证：AC⊥BC₁；

(2)求证：AC₁∥平面CDB₁；

(3)求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(1)证明：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5， 　　∴AC⊥BC． 　　∵BC1在平面ABC内的射影为BC， 　　∴AC⊥BC1． 　　(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连结DE． 　　∵D是AB的中点，E是BC1的中点， 　　∴DE∥AC1． 　　∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1， 　　∴AC1∥平面CDB1． 　　(3)解：∵DE∥AC1， 　　∴∠CED为AC1与B1C所成的角． 　　在△CED中，ED＝AC1＝，CD＝AB＝， 　　CE＝CB1＝2． 　　∴cos∠CED＝ 　　∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为 　　解法二：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5， 　　∴AC、BC、C1C两两垂直． 　　如图所示，以C为坐标原点，直线CA、CB、CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)，D(，2，0)． 　　(1)证明：∵＝(－3，0，0)，＝(0，－4，4)， 　　∴·＝0．∴AC⊥BC1． 　　(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连结DE，则E(0，2，2)． 　　∵＝(－，0，2)，＝(－3，0，4)， 　　∴＝．∴DE∥AC1． 　　∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1， 　　∴AC1∥平面CDB1． 　　(3)解：∵＝(－3，0，4)，＝(0，4，4)， 　　∴cos＜＞ 　　∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为．