Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=AA₁=1，D、E分别为棱AB、BC的中点，M为棱AA₁上的点．
（1）证明：A₁B₁⊥C₁D；
（2）当AM=

3

2

时，求二面角M-DE-A的大小．

Answer 1

分析：（1））以C为坐标原点建立空间直角坐标系C-xyz，利用

A1B1

•

C1D

=0．证明A₁B₁⊥C₁D
（2）分别求出平面MDE，平面DEA的一个法向量，利用两个法向量夹角求二面角M-DE-A的大小．

解答：（1）证明：以C为坐标原点建立空间直角坐标系C-xyz，则A₁（1，0，1），B₁（0，1，1），C₁（0，0，1），D（

1

2

，

1

2

，0），

A1B1

=（-1，1，0），

C1D

=（

1

2

，

1

2

，-1），则

A1B1

•

C1D

=0．所以

A1B1

⊥

C1D

=0．所以A₁B₁⊥C₁D；   …（6分）
（2）解：M(1，0，

3

2

)，E(0，

1

2

，0)，

ED

=(

1

2

，0，0)，

ME

=(-1，

1

2

，-

3

2

)，
设

n

=（x，y，z）为平面MDE的一个法向量．则

n • ED =0 n • ME =0

即

1 2 x=0 -x+ 1 2 y- 3 2 z=0

，令y=

3

，则x=0，z=1，所以

n

=（0，

3

，1）
又

CC1

=（0，0，1）为平面DEA的一个法向量，所以cos＜

n

，

CC1

＞=

n • CC1

|n| |CC1 |

=

1

2

所以二面角M-DE-A的大小为

π

3

．

点评：本题考查空间直线和直线的位置关系，二面角大小求解．考查逻辑思维、空间想象能力、论证计算能力．